Re: странный аттрактор

["Pooh" <vvs@barrt.ru>]

Привет всем!
Привет, Аня!

----- Original Message -----
From: Anna Egorova <ankorr@akm.ru>
To: <klein-by@yahoogroups.com>
Sent: Tuesday, April 03, 2001 1:51 PM
Subject: Re:  странный аттрактор


> Привет, товарищ Пух! :-))) Вот странное впечателение на меня произвела эта
> твоя лекция :-)) С одной стороны ВСЕ понятно, тогда как, если остановиться
Й
> конкретно притормозить на конкретной фразе - понимаешь, что не понятно ни
> то, ни другое, и что вообще не можешь себе представить, о чем речь :-)))
> Знаешь, я думаю это не просто "иллюзия понимания" :-))), а, примерно,
> процесс понимания в целом, видения как бы сверху, тогда как в деталях, при
> приближении, ты понимаешь, что в деталях ты полный профан :-)) Поэтому
буду
> прояснять вопросы по деталям, поскольку в целом мне очень интересно :-))
> "Странный аттрактор" - это по-моему, очень важно :-))) Серьезно. :-))
> Итак.
>
>
П> > Пусть теперь система будет не
П> > с одной степенью свободы, а с двумя. Тогда ее состояние
П> > будут характеризовать не одна координата и одна скорость,
П> > а две координаты и две скорости. Например, два маятника
П> > связаны пружинкой, через которую обмениваются энергией.
П> > Теперь фазовая плоскость станет фазовым пространством,
П> > причем - четырехмерным. Нет смысла представлять это наглядно,
П> > надо лишь осознать:  чтобы точно определить
П> > наше положение в таком пространстве нужны не два числа,
П> > а четыре. Т.е. мы купили билет в кино, а там номер ряда, номер места,
П> > номер этажа и номер сепульки. :) Только и всего.
П> > Но речь сейчас вот о чем.
П> > Даже если фазовое пространство всего трехмерное, фазовая траектория
П> > получает возможность выбраться с плоскости в третье измерение.
>
> Вот слушай, "фазовое пространство", "фазовая траектория"... Я правильно
> понимаю, что эти термины обозначают некую линию (в плоскости или в
> пространстве), некий путь движения (притяжения - чего?). Причем
> констатируемый нами (исследователями) искусственно, ну типа
> откладываемый-проецируемый на бумаге...?

Да, именно так. "откладываемый-проецируемый на бумаге" или
описанный с помощью уравнений, если это удается (например,
уравнение эллипсов - известно) для некоторых систем.

>Или же реально существующий такой
> ""желобок""- путь, по которому движутся реальные частицы (?).

Нет, не существующий. Антон (привет!) написал об этом.

>
П> > И существуют системы вот с какой особенностью:
П> > Начало координат
>
> Вот "координаты" - они нами рисуются на бумаге или реально существуют в
> живом пространстве?

Координаты рисуются нами на бумаге, но они - реальные физические
величины, характеризующие состояние системы. Например, для маятника -
угол отклонения и угловая скорость. Можно записать формулу, описывающую
колебания маятника - и по ней определить состояние маятника в любой момент
времени.
а можно построить фазовую траекторию и по ней определить состояние маятника
в любой момент времени.
Два разных подхода к одной и той же задаче.
Для некоторых систем, оказывается, математически проще построить фазовые
траектории,
чем решить уравнения движения и получить нужные формулы. А результат -
знание поведения системы -
один и тот же.
Я взялся рассказывать про фазовое пространство только потому, что само
понятие - странный аттрактор -
возникло при описании систем посредством фазового пространства.

>
П> -неусточивое состояние равновесия, из него фазовые
П> > траектории
П> > разбегаются. Мы поедем вдоль такой траектории
П> > как на американских горках и выедем
П> > в пространство,
>
> "Выедем в пространство" - откуда? Из плоскости??? Непонятно... Как могут
> "американские горки" начинаться из плоскости...? Да, и пару слов о
> "неустойчивом состоянии равновесия" - где оно существует, при каких
условиях
> и по каким причинам.

"Выедем в пространство" - это я имел в виду, что фазовые траектории не лежат
теперь в одной плоскости.
Состояние равновесия - это когда скорость в системе равна нулю,
и равнодействующая всех сил тоже рана нулю.
Возможно это тогда, когда потенциальная энергия принимает
максимальное или минимальное значение.
Маятник в нижнем положении - потенциальная энергия тяготения минимальна.
(она зависит от высоты центра тяжести маятника над землей)
Маятник в верхнем положении - потенциальная энергия тяготения максимальна.
(выше центр тяжести уже не поднять).
Про устойчивость-неустойчивость Антон писал.

>
П> но там, в пространстве, система поведет себя так,
П> > что нас снова потянет назад, к началу.
>
> Пчему??? Что за закон? Почему нас (кого - частицы? в реальном... чем?
> :-)))))) нас тянет обратно?

"Нас тянет обратно" - это значит система ведет себя так, что фазовая
траектория
устремляется к началу координат. То есть физические величины, которые
мы откладывали по осям начнут соответствующим образом менять свои значения.
Это не закон. Просто НЕКОТОРЫЕ системы могут так себя вести, только о таких
в данном случае я и говорю.

>
П> Если бы мы ехали по рельсам,
П> > то неизбежно вернулись бы в то же самое место, откуда начинали
П> > движение - и повторили бы все заново. Получился бы простой
П> > предельный цикл
>
> Что такое "простой предельный цикл"?  (Пух, может ты раньше и объяснял уже
> это, но скажи еще раз, плз... потому что все-таки, вещи непростые. Физика,
> понимаешь, не последнее дело.. :-)))))

Простой предельный цикл - это замкнутая фазовая траектория, соответствующая
периодическому движению. К такой траектории стремятся все траектории в
некоторой
ее окрестности. То есть если состояние системы таково, что мы не находимся
ни на
одной точке предельного цикла, система будет вести себя так, чтобы мы рано
или
поздно начали двигаться по траектории предельного цикла.
"будет вести себя так" - означает, что система физически так устроена, что в
ней
возможны только незатухающие колебания с одной и той же амплитудой.
На фазовой плоскости маятника в часах - один предельный цикл,
соответствующий
изменению угла и угловой скорости маятника в процессе его движения, пока
часы
идут (есть запас энергии). Движение по всем остальным траекториям неизбежно
приведет к попаданию на траекторию этого единственного предельного цикла.

>
П> - только в пространстве, а не на плоскости.
П> > Однако наши рельсы - фазовые траектории - бесконечно тонкие,
П> > их бесконечно много и в некоторых системах, двигаясь вдоль
П> > фазовой траектории при возвращении к началу движения,
П> > мы вернемся не совсем в то же самое место.
>
> Типа нас "прертянет" на соседнюю фазовую траекторию, а мы и не заметим?
> :-))) Что уже движемся по параллельной? :-)) И будем думать, что по той
же?
> :-)) И опять же - почему мы возвращаемся? :-))) "Вернемся не совсем в то
же
> самое место" - это случайный-непроизвольный "сбой-сползание" системы, или
> закономерность? :-)).

Нет, нас не перетянет на соседнюю фазовую траекторию.
Каждая траектория - уникальна и никогда не пересекается с любой другой.
(за исключением особенных случаев - о них речь не ведем).
"Вернемся не совсем в то же самое место"  - это сравнение
с периодическим движением - предельным циклом.
Если мы движемся вдоль траектории предельного цикла,
то рано или поздно "попадаем в то же самое место" -
то есть физические величины, определяющие состояние
системы, принимают точно те же самые значения, что и
некоторое время назад - и так повторяется бесконечно.
"Вернемся не совсем в то же самое место" - это не случайный сбой,
в этом все дело в процессе движения-изменения величин
НЕТ никаких случайностей, уравнения движения НЕ содержат
случайных параметров. Это закономерность - в том смысле,
что такое поведение обусловлено самой системой.

>
П> > Вблизи неустойчивого состояния равновесия - фазовые траектории -
П> > разбегающиеся спирали. И даже если в некоторой области две спирали
П> > близки друг к другу, с течением времени, поскольку они разбегаются,
П> > точки, принадлежащие этим спиралям будут довольно далеки.
П> > Физически это соответствует другой последовательности состояний
П> > системы. Таким образом, если мы вернемся не совсем туда,
П> > откуда начинали, даже если совсем чуть-чуть не туда,
П> > то и новый виток наших американских горок будет совсем
П> > иной.
>
> В смысле - даже если "совем ЧУТЬ-ЧУТЬ" не туда, все равно - итог будет
> СОВСЕМ иной? Да? :-)))

Именно! Представь себе две дороги, не параллельные друг другу
"совсем чуть-чуть". Пусть угол между ними - один градус или
даже одна стотысячная доля градуса. Ты пойдешь по одной,
а я по другой. Сначала-то мы пойдем вроде и вместе,
но рано или поздно разойдемся километров на сто.

>Жуть, как интересно! :-)))))) Ух.. :-))) Значит, мы -
> как сознательные ;-)) точки фазовых траектори - должны СТРЕМИТЬСЯ попасть
> "чуть-чуть" не туда? Если мы видим, что наш "фазовый цикл" стал уж совсем
> "простым" и "предельным", точнее простым и одинаковым до предела? :-)))
Или
> ВСЕ РАВНО не избежать перемещения не соседнюю орбиту? Ведь в физике
> НЕВОЗМОЖНО (?) чтобы точка каталась туда-сюда все всремя ПО ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ
> фазовой траектории?? :-)) Или как, Пух? :-))) Ух... :-))

Строго говоря - невозможно, потому что все равно ВСЕГДА есть случайные
флуктуации. Предельный цикл - одна фазовая траектория - это модель.
В действительности говорят об аттракторе как о некоторой области,
в которую стремятся попасть фазовые траектории.
Ну вот если АБСОЛЮТНО ТОЧНО измерять амплитуду клебаний
маятника в часах, то она, конечно будет все время меняться (очень
незначительно)
из-за всяких внешних причин - трения, сопротивления воздуха, колебаний
молекул самого маятника и т.д. Но в целом всегда есть некоторые пределы,
которые могут быть преодолены с исезающе малой вероятностью.
>
П> То есть мы снова уедем от состояния равновесия
П> > и снова вернемся, но уже опять не совсем туда, так что
П> > потом снова поедем по новой кривой.
>
> То есть это закон? Что "уже опять не совсем туда"? И для кого-чего? :-)))
>
П> > И будем так двигаться бесконечно, то приближаясь,
П> > то удаляясь от начала координат.
>
> То есть ВОКРУГ начала координат? Какой тогда смысл наших вечных смещений
> "чуть-чуть не туда", если мы все время, все равно, вращаемся вокруг начала
> координат и никуда (?) не вылетаем? :-)) Или как? :-))

Ну да. Вокруг, около, возле. Клубок ниток - который на самом деле одна
нитка,
скрученная как попало в окрестности какой-то точки.
>
П> Одновременно
П> > притягиваясь к нему и отталкиваясь от него.
П> > Траектория, вдоль которой мы поедем, будет выглядеть
П> > как спутанный клубок ниток вокруг начала координат.
П> > Это и есть странный аттрактор.
>
> Ну и ну... :-)))) Что же такое, блин, странный аттрактор? :-))))) Ничего
не
> понятно... :-))))))

Странный аттрактор - область фазового пространства, внутри которой
фазовые траектории ведут себя так, как я рассказал.

>
П> > Странный, потому что он
>
> Он - это кто???? Пух, ну помоги.. :-)))

Аттрактор. Область фазового пространства.

>
П> не притягивающий и не отталкивающий,
П> > а одновременно - и то и другое, в то же время ни то, ни другое.
>
> А что же он??? :-))))))))))
>
П> > Изменения состояния системы в этом случае будут
П> > ВЫГЛЯДЕТЬ как случайный, непредсказуемый процесс.
П> > Парадокс в том, что такое оказывается возможно в системах,
П> > в которых нет никаких случайных параметров.
>
> А вот здесь чуть поподробнее... :-)))) В системах, в которых не никаких
> случайных параметров (примеры, плз...),

Любые системы, в которых параметры или постоянны или меняются
по определенному закону. Ну вот часы - в них параметры - длина маятника,
масса его, масса гирь (или упругость пружины) - все ОПРЕДЕЛЕНО ОДНОЗНАЧНО.
Случайный параметр - это величина, значение которой можно указать лишь
с некоторой вероятностью. Например, для распространения звука
одним из параметров системы является плотность среды, в которой
он распространяется. Поскольку молекулы хаотически движутся,
плотность в пространстве случайно изменияется. Это приводит
к случайным колебаниям амплитуды звуковой волны.
Случайное мерцание звезд, например, тоже обусловлено тем,
что показатель преломления света  атмосферы случайно меняется.
Но в этих случаях все нормально - случайное воздействие -
случайные колебания.

> возможно полявления ЯКОБЫ
> непредсказуемого процесса? А какой этот процесс на самом деле, а Пух?
:-))))
>
П> > Единственной случайностью является самая первая
П> > флуктуация - случайный импульс в начале движения,
П> > который и определяет дальнейшее поведение системы.
>
> Ах, вот она - единственная случайность... :-)))) Примеры, Пух, будь добр
> :-))) Система, не имеющая ни одного случайного параметра, вдруг получает
> случайный толчок, и что же с ней происходит? :-))

В ней может ничего не возникнуть - случайный толчок
приведет к затухающему процессу (как в простом маятнике).
В ней могут возникнуть автоколебания - как в часах.
А в некоторых системах возможно то, о чем я написал -
хаос.

>
П> > Поведение системы на самом деле предопределено,
П> > то есть если известны начальные условия, то
П> > эту кажущуюся случайность можно предсказать.
П> > Однако начальные условия в силу случайности
П> > первого импульса - малейшей флуктуации - как правило
П> > неизвестны, так что в системе с неслучайными
П> > параметрами возникает случайный процесс.
П> > Порядок обращается в хаос.
П> > Который на самом деле не настоящий хаос,
П> > потому что при знании начальных условий
П> > поведение системы может быть предсказано.
>
> Имеется в виду, если мы знаем "характеристики" случайного первого
импульса?
> Примеры, плз.... -))

Да. Если мы знаем характеристики первого импульса. Начальные условия.
Тогда, решив уравнения движения, можно было бы определить поведение системы.
Сложность в том, что уравнения в таких системах решения не имеют.
В том смысле, что его нельзя выразить в виде какой-нибудь известной функции,
нельзя получить формулу.

>
П> > Всем привет и спасибо!
>
> О, да :-))) Привет и спасибо! :-)))
>
> > Пух.
>
> Аня.

Прояснил что-нибудь?
Спрашивай! Спрашивайте!

Всем привет!

Пух.