Re: аттракторы 2

["Pooh" <vvs@barrt.ru>]

Привет всем!
Привет, Наталья!

----- Original Message -----
From: Natalia Changeable <fourtochka@hotmail.com>
To: <klein-by@yahoogroups.com>
Sent: Thursday, March 15, 2001 5:21 PM
Subject: Re:  аттракторы 2


> Пух, привет!
> Это какая-то гениальная лекция :) Аж где-то засвербило! Почти смещение
точки
> сборки :))))

Ух ты!!! :))))) Спасибо во-от такое!! :)))

> Вроде, все понятно, а не складывается :)  Огроменная просьба:
> картинку! картинки!!! Или ссылочку, где посмотреть?  Кажется, вот где-то
тут
> капнуть надо, чтобы чугунным! утюгом припекло :) Может, взять пример
> конкретный и на нем расшуровать. Типа, маятник... :))))) Что у нас будет
> фазовой плоскостью? Где эти аттракторы, предельный цикл? А можно для
> наглядности привести линейный аналог фазовой плоскости, а на фазовую
> плоскость мы сэкстраполируем :) ? Трехмерно же трудно рисовать, а тут
> придется, как я понимаю.
>
> Спасибо огромное!
> С уважением,
> 4.
>

Сначала про линейный аналог.
Он, конечно, есть. Если для характеристики состояния системы достаточно
не двух величин, а одной, то плоскость вырождается в прямую.
Физически это возможно лишь в таких системах, где
координата-отклонение (или ее аналог) жестко связана со скоростью (или ее
аналогом).
То есть, например, скорость всегда в два раза меньше или в три раза больше.
Одним словом, в таких системах, где координата и скорость ОДНОЗНАЧНО
определяют друг друга. (для обычного маятника это, конечно, не так,
потому что если мы будем знать только угол отклонения в определенный
момент времени,  то скорость по этому углу нам определить не удастся)
В механике наглядного примера не знаю, а в электричестве такой пример -
это цепь, состоящая из только из конденсатора и сопротивления.
Здесь заряд (аналог координаты) прямо пропорционален току (аналогу
скорости).
Такие системы, где достаточно одной величины для описания состояния
еще называют вырожденными. Там не могут существовать ни свободные колебания,
ни автоколебания. Так что речь о предельных циклах в линейном аналоге не
может идти.
Теперь о картинках. На них ПРИБЛИЖЕННО изображены
фазовые портреты автоколебательной системы. На них предельные циклы -
круглые и спирали - тоже. На самом деле может быть
по всякому. Еще раз - нам важна не столько конкретная форма,
сколько ПОВЕДЕНИЕ фазовых траекторий, т.е. куда они направлены.
Чтоб нарисовать картинки, я использовал решение задачи для
радиотехнической системы - транзисторного автогенератора.
Здесь координаты - заряд  и ток.
Так ли будет вести себя маятник в часах - не знаю. Надо
строить модель и решать задачу. Дело сейчас не в этой конкретике.
Фазовых портретов автоколебательных систем - много
и они разные, это лишь частный пример.
Итак.
На картинке cycle1 - один предельный цикл, обведенный
красным цветом. И две фазовые траектории.
Внутри красного круга спираль раскручивается и постепенно сливается
с кругом. Снаружи спираль скручивается и тоже сливается с кругом.
Таких спиралей - бесконечно много. КАЖДАЯ точка плоскости -
это точка, принадлежащая какой-нибудь спирали.
На картинке cycle2 - два предельных цикла, один устойчивый
(красный), другой - неустойчивый (зеленый). Колея и бугорок.
Внутри зеленого круга - каждая точка плоскости принадлежит
какой-нибудь скручивающейся спирали. Поэтому, если
систему вывести из состояния покоя, но не за пределы
зеленого круга - она опять вернется в покой.
Если же начальный импульс выведет систему за пределы
зеленого круга, то там каждая точка принадлежит уже раскручивающейся
спирали. Если же искуственно задать начальные условия
в системе так, чтоб двигаться по зеленому кругу, то любое
случайное отклонение (самое малейшее) переместит
нас либо в зону скручивающихся спиралей либо
в зону раскручивающихся. Зеленый предельный цикл
оттолкнет нас туда или сюда. Красный внешний круг -
устойчивый цикл. Здесь случайные отклонения
переведут нас на такие фазовые траектории,
которые вернутся к предельному циклу.
Надо помнить, что все это - ОБРАЗ.
Отражение реальных физических процессов.
Еще один способ их описания.
Картинки, конечно, не очень аккуратные,
но строить точные фазовые портреты нет времени.

Спасибо.
Всем привет.
Пух.

cycle2.jpg

cycle1.jpg